Monotoniczność Twierdzenie: Jeśli funkcja spełnia równanie Cauchy’ego i jest na pewnym przedziale monotoniczna, to jest ona funkcją liniową.
Dowód: Dowód wynika wprost z tego, że każda funkcja monotoniczna posiada w przedziale monotoniczności punkt ciągłości. Alternatywnie dowód wynika stąd, że funkcja monotoniczna w przedziale jest w nim ograniczona przez i
Istnienie nieliniowych rozwiązań w liczbach rzeczywistych Twierdzenie: W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego. Ich istnienie wymaga jednak założenia aksjomatu wyboru.
Dowód: Rozpatrzmy przestrzeń wektorową Z równoważnego aksjomatowi wyboru lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że przestrzeń ta ma pewną bazę Każdą liczbę rzeczywistą można więc jednoznacznie przedstawić jako sumę gdzie są skalarami z ciała i tylko skończenie wiele spośród nich jest różnych od zera. Możemy przyjąć dowolne wartości dla funkcji na wektorach bazowych i określić wzór następująco:
Taka funkcja jest rzeczywiście dobrze określona, co wynika z jedyności rozkładu liczb rzeczywistych na wektory bazowe.