gdzie oznacza notację Winogradowa. W efekcie wnioskiem płynącym z twierdzenia Winogradowa jest słabsza wersja słabej hipotezy Goldbacha.
Strategia dowodu Winogradow swój dowód oparł przede wszystkim na metodzie łuków Hardy’ego-Littlewooda. Jednakże, w odróżnieniu od szeregu potęgowego zastosowanego pierwotnie przez matematyków w kontekście problemu Waringa, Winogradow rozważa skończoną sumę eksponencjalną
gdzie jest jak wyżej, a jest pewną ustaloną stałą. Ponieważ celem jest otrzymanie sumy postaci suma podnoszona jest do potęgi trzeciej,
Oznaczając powyższe współczynniki przez dla Wystarczy zatem, że podane zostanie oszacowanie na
Skoro jest sumą trygonometryczną, jej współczynniki można wyrazić za pomocą całki
Stosując wspomnianą metodę łuków, przedział dzieli się na duże łuki (zbiory liczb o dobrych przybliżeniach wymiernych) i mniejsze łuki (pozostałe). Jako wybieramy pewną stałą, oznaczane jest także i Dla liczb zdefiniować można
oraz
– zbiór ten nazywany jest zbiorem dużych łuków. Zbiór nazywany jest zbiorem mniejszych łuków.