Brun wykazał, że

a dzięki temu ograniczeniu udowodnił, że istnieje stała taka, że

Stała (A065421 w OEIS) jest nazywana stałą Bruna.

Nierówność Bruna-Titchmarsha Nierówność uzyskana przez Viggo Bruna i Edwarda Charles’a Titchmarsha pozwoliła odgórnie ograniczyć ilość liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Nierówność ta mówi, że

dla wszystkich . Pierwotny wynik wymagał dodatkowego uwzględnienia czynnika ale w późniejszych pracach Hugh Montgomery i Robert Vaughn byli w stanie go wyeliminować korzystając z technik dużego sita. Chowla, Motohashi i Siebert zaznaczają, że wszelkie postępy w zmniejszaniu wartości stałej 2 implikowałyby nieistnienie zer Siegela (potencjalnych kontrprzykładów dla uogólnionej hipotezy Riemanna).

Twierdzenie Chena mały|Chen Jingrun Twierdzenie Chena, udowodnione w 1973 r., stanowi ogromny postęp metod sit w kierunku hipotezy Goldbacha.