Jednym z najważniejszych problemów dotyczących zbiorów i liczb wolnych jest nieskończoność występowania danych bloków 0 i 1 w ciągu . Przykładowo, jeśli , to można zadać pytanie, czy istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych , dla których .
Jednym z czołowych matematyków zajmujących się badaniem zbiorów wolnych jest Mariusz Lemańczyk.
Zbiory i Analiza struktury zbioru oparta jest na analizie trzech układów dynamicznych:
, gdzie jest domknięciem orbity , , gdzie jest najmniejszym (w sensie zawierania) zbiorem dziedzicznym zawierającym jako swój podzbiór. O zbiorze powiemy, że jest dziedziczny, jeśli dla dowolnych ciągów takich, że dla wszystkich warunek implikuje , , gdzie . Warunek definiujący zbiór oznacza, że nie dla wszystkich istnieje taka, że . Zbiór nazywamy zbiorem ciągów dopuszczalnych. Znany wynik z teorii układów dynamicznych mówi, że dla dowolnego będącego otwartym otoczeniem zbiór jest syndetyczny (ma ograniczone różnice między kolejnymi elementami) wtedy i tylko wtedy, gdy układ jest minimalny. Warunek syndetyczności powyższego zbioru jest znacznie silniejszy od występowania nieskończenie wielu takich samych bloków na . Jednakże układ zwykle nie jest minimalny, dlatego występowanie bloków na uzasadnia się z wykorzystaniem innych własności tego układu lub z wykorzystaniem tzw.