W praktyce, dla każdego parametru konstruuje się kompleks Vietorisa-Ripsa lub kompleks Čecha. Wraz ze wzrostem wartości otrzymuje się rosnącą rodzinę kompleksów symplicjalnych tworzących filtrację.
W procesie tym mogą pojawiać się i zanikać „dziury” różnych wymiarów. Przykładowo:
w wymiarze odpowiadają one składowym spójności, w wymiarze — pętlom, w wymiarze — pustym przestrzeniom, „jamom” (jak np. wnętrze sfery). Homologie trwałe śledzą moment „narodzin" (pojawienia się) i „śmierci" (zapełnienia się lub połączenia z innymi) każdej z tych „dziur" wraz ze wzrostem parametru .
Definicja Jeżeli
jest ciągiem kompleksów symplicjalnych, to włożenia indukują homomorfizmy grup homologii symplicjalnych (na ogół, dla prostoty, nad ) dla każdego wymiaru . W tej sytuacji -tymi grupami homologii trwałych są obrazy homomorfizmów tj. dla W szczególności grupa jest tożsama z .
Precyzyjniej, (tj. iloraz cykli z przez te spośród nich, które stają się brzegami w ) gdzie oraz są odpowiednio standardowymi podgrupami cykli oraz brzegów.
Mówimy, że klasa homologii rodzi się w , jeśli . Klasa ta umiera w , jeśli jest najmniejszym indeksem, dla którego oraz .