Jego imieniem nazwano Wyspę Conway, leżącą na zachód od Ziemi Grahama na Antarktydzie.

Po przestudiowaniu dostępnych materiałów dotyczących brytyjskiej wyprawy na Mount Everest w 1924 był zdania, że George Mallory i Andrew Irvine weszli na szczyt.

Kariera naukowa mały|Mapa Karakorum sporządzona przez Conwaya, przedstawiająca okolice lodowca Hispar, na podstawie jego badań z 1892 Od 1884 do 1887 r. był profesorem historii sztuki na University College w Liverpoolu. W latach od 1901 do 1904 miał profesurę z tytułem Slade Professor of Fine Art na Uniwersytecie Cambridge. W 1895 roku otrzymał tytuł szlachecki za prace w 1892 związane ze skartowaniem 5180 km² obszaru Karakorum.

W 1889 r. opublikował książkę prezentującą wyniki swoich studiów nad twórczością Albrechta Dürera. Jego asystentką w tych badaniach była Lina Eckenstein, siostra jego kolegi wspinacza i znanego alpinisty Oscara Eckensteina.

Na początku XX wieku działał w Society of Antiquaries of London (SAL), brytyjskim towarzystwie naukowym zajmującym się materialnymi śladami przeszłości. Wygłaszał liczne prelekcje na zebraniach towarzystwa i był przez wiele kadencji członkiem rady SAL. Dwukrotnie, w 1916–17 i ponownie w 1918–22, pełnił obowiązki wiceprezesa towarzystwa.