Wówczas jeśli nie jest dzielnikiem żadnej z liczb i oraz , to zachodzi równość
Dowód
Wersja z odejmowaniem, nieparzyste lub i Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnych oraz . Wówczas na mocy własności zachodzi
czyli lemat o zwiększaniu wykładnika jest prawdziwy także dla . Możemy zatem ograniczyć dowód do przypadku, gdy jest liczbą pierwszą.
Przyjmijmy . Wtedy dla pewnego niepodzielnego przez . Ze wzoru dwumianowego Newtona mamy
Wyrazy powyższej sumy są dla podzielne przez . Stąd dla pewnej liczby całkowitej
Liczby i są niepodzielne przez . Zatem jeśli jest liczbą pierwszą różną od , to . Wtedy oraz
jak chcieliśmy. Jeśli i , to z otrzymujemy . Analogicznie jak powyżej uzasadniamy równość
Pozostał do rozpatrzenia jedynie przypadek i ( nieparzyste). Ponownie posłużmy się i zauważmy, że dla odpowiednie wyrazy rozpatrywanej sumy są podzielne przez . Stąd dla pewnej liczby całkowitej mamy
Ponieważ , dwa ostatnie wyrazy w nawiasie są podzielne przez . Jednak , czyli suma w nawiasie jest niepodzielna przez , co daje
To kończy dowód w tym przypadku.
Wersja z odejmowaniem, Dowód pierwszego ze stwierdzeń przywołanych w artykule przeprowadziliśmy już powyżej.