Wówczas na mocy twierdzenia o orbitach i stabilizatorach dla każdego mamy
zatem
Ostatnia równość wynika z tego, że obie sumy równe są liczbie takich par , że .
Przyrównując prawe strony równości i , natychmiast otrzymujemy tezę lematu.
Przykład
Zliczanie naszyjników Dysponujemy dowolną liczbą białych i czarnych paciorków, które nawlekamy na sznurek i łączymy go w pętlę. Chcemy ustalić, ile istotnie różnych naszyjników o paciorkach możemy stworzyć. Równoważnie możemy zapytać, ile jest różnych pokolorowań wierzchołków -kąta foremnego dwoma kolorami, przy czym pokolorowania uznajemy za takie same, jeśli pewne przekształcenie z grupy diedralnej przekształca jedno z nich w drugie.
Przeanalizujmy ten problem dla . Każdy operator z grupy potraktujmy jako permutację wierzchołków pięciokąta foremnego. Wówczas pokolorowanie jest punktem stałym pewnego operatora wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołki należące do tego samego cyklu odpowiadającej mu permutacji są zawsze pokolorowane tym samym kolorem. Grupa składa się z następujących elementów: