Zastosujmy indukcję względem mocy zbioru Przypadek jest oczywisty. Załóżmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich zbiorów liczących mniej niż elementów. Przyjmijmy i niech będzie maksymalną licznością antyłańcucha w tym zbiorze, a dowolnym maksymalnym (czyli takim, którego nie można powiększyć) łańcuchem. Oczywiście zbioru nie możemy pokryć mniej niż łańcuchami, ponieważ każdy łańcuch może zawierać co najwyżej jeden element antyłańcucha.
Jeśli każdy antyłańcuch w zbiorze ma co najwyżej elementów, to na mocy założenia indukcyjnego jest sumą łańcucha oraz łańcuchów, które pokrywają
Załóżmy zatem, że w istnieje antyłańcuch -elementowy Ponieważ każdy antyłańcuch w jest też antyłańcuchem w antyłańcuch jest maksymalnej liczności. Utwórzmy zbiory
Niech będzie najmniejszym elementem łańcucha Oczywiście – w przeciwnym wypadku łańcuch można by powiększyć. Analogicznie nie zawiera największego elementu Stąd oraz i na mocy założenia indukcyjnego istnieją rozkłady na łańcuchy