Bez straty ogólności niech oraz Jeśli nie jest najmniejszym elementem to dla pewnych zachodzi co jest sprzeczne z definicją antyłańcucha. Analogicznie dowodzi się, że jest największym elementem Zauważmy, że ponieważ w przeciwnym wypadku antyłańcuch można by powiększyć o pewien element Stąd jest rozkładem zbioru na łańcuchów. Wobec dowolności zbioru teza zachodzi dla wszystkich zbiorów o mocy co kończy dowód indukcyjny.
Twierdzenie dualne Twierdzenie Dilwortha pozostaje prawdziwe, gdy w jego sformułowaniu zamienimy miejscami sformułowania „łańcuch” i „antyłańcuch”. Taką postać twierdzenia nazywa się dualnym twierdzeniem Dilwortha. Dowód tego twierdzenia przedstawił Leon Mirsky w 1971 roku.
Dualne twierdzenie Dilwortha orzeka, że w dowolnym skończonym zbiorze częściowo uporządkowanym maksymalna liczność łańcucha jest równa minimalnej liczbie antyłańcuchów, które pokrywają ten zbiór.
Podobnie jak twierdzenie Dilwortha, twierdzenie dualne jest prawdziwe również dla zbiorów nieskończonych pod warunkiem, że maksymalna liczność łańcucha jest ograniczona.
Zastosowania
Twierdzenie Erdősa–Szekeresa Każdy ciąg liczb rzeczywistych o wyrazach zawiera podciąg niemalejący długości lub podciąg nierosnący długości
Niech będzie dowolnym takim ciągiem.