po przekształceniach Przypuszczenie, że jest algebraiczne oznaczałoby, że jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych wbrew temu, że jest przestępne. dla algebraicznego – przypuszczenie, że jest algebraiczne oznacza, że jest przestępne wbrew temu, że jest algebraiczne,
gdzie jest liczbą algebraiczną, jest liczbą niewymierną algebraiczną (twierdzenie Gelfonda-Schneidera). – ponieważ więc jest jedną z wartości przy czym w ostatniej potędze podstawa jest liczbą algebraiczną różną od i z kolei wykładnik jest liczbą niewymierną, czyli nie jest liczbą wymierną – ponieważ więc jest wymierną potęgą liczby przestępnej liczby Liouville’a gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, liczby tej postaci są przykładami liczb Liouville’a.
Własności mnogościowe Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. Dowód: zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ każdy taki wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele liczb algebraicznych.