Można wykazać, że tak zdefiniowane funkcje spełniają własności:

, , gdzie oznacza splot Dirichleta, , gdzie oznacza odwrotność Dirichleta , pod warunkiem, że .

Pierwsza równość jest oczywista, druga jest prawdziwa, ponieważ

.

Trzecia równość wynika z drugiej, ponieważ

,

więc

.

Mnożąc obie strony przez , otrzymuje się

.

Można teraz przystąpić do dowodu tożsamości. Należy tu skorzystać ze znanej tożsamości dla funkcji von Mangoldta, tzn. . Zapisując tę równość w splocie Dirichleta, , gdzie dla wszystkich . Stąd

.

Podstawiając , wzór przekształca się do

.

Obie strony mnoży się przez , żeby otrzymać

.

Powyższa jest poszukiwaną tożsamością.

Funkcja generująca Współczynniki występujące po lewej stronie tożsamości są współczynnikami szeregu Dirichleta

,

gdzie oznacza funkcję zeta Riemanna. Funkcja ta ma biegun rzędu 2 w ze współczynnikiem 2, dlatego w szacowaniu pojawia się wyrażenie .

Ogólna postać wzoru Jak pisał Atle Selberg w liście do Doriana Goldfelda z 6 stycznia 1998r., otrzymana tożsamość pokazuje, że funkcje Czebyszewa spełniają zależność postaci

.

Tożsamość Selberga miała posłużyć udowodnieniu, że . Jednak w ogólności można skonstruować kontrprzykład - niemonotoniczną funkcję , dla której powyższa zależność jest spełniona, ale .

Przypisy

Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Tożsamości matematyczne