Niech YV będzie Y centrowaną ze względu na V wersją Y , wtedy (U,V)-kowariancja (X,Y) jest zdefiniowana jako liczba nieujemna, której kwadrat wynosi
zawsze, gdy prawa strona jest nieujemna i skończona. Najważniejszym przykładem jest sytuacja, gdy U i V są dwustronnymi niezależnymi ruchami Browna / procesami Wienera z zerową średnią i kowariancją |s| + |t| – |s–t| = 2 min (s, t), gdy s, t są nieujemne. W tym przypadku kowariancja (U, V) nazywana jest kowariancją Browna i oznaczana jako
Jak się okazuje, kowariancja Browna jest tym samym, co kowariancja odległościowa:
stąd korelacja Browna jest tym samym, co korelacja odległościowa.
Z drugiej strony, jeśli zastąpimy ruch Browna deterministyczną funkcją tożsamościową id, wówczas Covid(X,Y) jest po prostu wartością bezwzględną klasycznej kowariancji Pearsona:
Powiązane miary Inne miary zależności, w tym wskaźniki korelacyjne oparte na jądrze (takie jak kryterium niezależności Hilberta-Schmidta, czyli HSIC), również mogą wykrywać oddziaływania liniowe i nieliniowe. Zarówno korelację odległościową, jak i metryki oparte na jądrze można stosować w ramach analizy korelacji kanonicznej, analizy niezależnych składowych i podobnych procedur, aby uzyskać większą moc statystyczną.
Przypisy
Kategoria:Miary zależności