Wprowadzenie W 1922 Louis Mordell udowodnił twierdzenie Mordella: grupa abelowa punktów wymiernych na krzywej eliptycznej jest skończenie generowana. Twierdzenie Mordella zostało później uogólnione przez Weila, tak aby opisywać punkty K-wymierne dla dowolnego ciała liczbowego K i dowolnej rozmaitości abelowej. Mimo, że twierdzenie Mordella-Weila mówi, że ranga grupy jest skończona, to nie zapewnia ono efektywnej metody jej obliczenia. Obliczenie rangi dla krzywej eliptycznej jest trudnym problemem.
L-funkcja Hassego-Weila jest konstruowana za pomocą produktu Eulera dla liczb pierwszych:
Gdzie każdy wyraz jest funkcją zależną od zachowania krzywej po zredukowaniu modulo p:
gdzie jest konduktorem krzywej eliptycznej , a współczynniki zależą od liczby punktów tej krzywej w następujący sposób:
gdzie oznacza liczbę punktów na krzywej po redukcji.
Iloczyn ten jest zbieżny tylko dla , dlatego dla innych liczb zespolonych L-funkcja definiowana jest jako przedłużenie analityczne. Helmut Hasse postawił hipotezę, że dla dowolnej krzywej eliptycznej funkcja ta przedłuża się na całą płaszczyznę zespoloną. Istnienie tego przedłużenia zostało udowodnione przez Deuringa dla krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym.