Aktualnie, dzięki twierdzeniu o modularności wiadomo, że istnieje ono dla dowolnych krzywych eliptycznych o współczynnikach wymiernych.
Historia We wczesnych latach 60 XX wieku Peter Swinnerton-Dyer używał komputerów na Uniwersytecie w Cambridge, aby obliczyć liczbę punktów na krzywych zredukowanych modulo p, dla których rangi były już znane w tamtym czasie. Na podstawie obliczeń Birch i Swinnerton-Dyer zaproponowali pierwotną hipotezę, że wartości spełniają asymptotyczną zależność:
To z kolei doprowadziło do postawienia hipotezy na temat miejsc zerowych L-funkcji Hassego-Weila w . Jak na tamte czasy, było to bardzo odważne przypuszczenie, ponieważ jedynymi krzywymi eliptycznymi dla których udowodnione było istnienie przedłużenia analitycznego tej funkcji były krzywe z mnożeniem zespolonym, które służyły także do obliczeń prowadzonych przez Swinnertora-Dyera.
W 1977 Coates i Wiles udowodnili, że jeżeli jest krzywą nad ciałem liczbowym z mnożeniem zespolonym z urojonego ciała kwadratowego o liczbie klas 1, oraz to jest grupą skończoną.