Aktualnie nie ma dowodów, w których występowałyby krzywe o randze lub funkcje o krotności zera większej niż 1. Nie ma też dowodów, w których to ranga krzywej implikowałaby właściwą krotność zera.
Istnienie przedłużenia analitycznego dla L-funkcji krzywej nad dowolnym ciałem liczbowym wciąż jest problemem otwartym.
Liczne rezultaty numeryczne przemawiają za prawdziwością hipotezy.
Konsekwencje Prawdziwość hipotezy Bircha i Swinnertora-Dyera pociąga za sobą wiele konsekwencji, niektórymi z nich są: Jeżeli jest liczbą bezkwadratową liczbą całkowitą, to n jest powierzchnią trójkąta o bokach wymiernych (liczbą przystającą) wtedy i tylko wtedy gdy liczba rozwiązań całkowitych równania diofantycznego jest dwukrotnością liczby rozwiązań całkowitych . Rezultat ten wynika z twierdzenia Tunnella, które mówi że liczba jest przystająca wtedy i tylko wtedy gdy krzywa eliptyczna ma rangę większą lub równą 1. Dzięki metodom na szacowanie krotności zer funkcji analitycznych, przy dodatkowym założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna z hipotezy BSD wynika, że w pewnym sensie średnia ranga krzywych eliptycznych zadanych równaniem jest mniejsza od 2. Dzięki równaniu funkcyjnemu L-funkcji Hassego-Weila hipoteza BSD pozwala określić parzystość rangi krzywej.