Tj. kostkę identyfikujemy ze ścianą kostki spełniającą warunek . Dalej, oznaczmy przez sumę wszystkich pozostałych ścian kostki . W tej sytuacji mamy
Dla niech będzie zbiorem odwzorowań ciągłych trójek
tj. takich, odwzorowań ciągłych że oraz .
Przez oznaczamy zbiór wszystkich odwzorowań homotopijnych z poprzez homotopię
Zbiory są albo takie same albo rozłączne, a zbiór wszystkich dla oznaczamy przez . Analogicznie jak wcześniej, możemy określić działanie przyjmując , gdzie jest określone tym samym wzorem co w przypadku grupy . Zbiór wraz z tworzy grupę zwaną -wymiarową grupą relatywną grupą homotopii przestrzeni względem podprzestrzeni i punktu .
Homomorfizm indukowany Każde odwzorowanie ciągłe indukuje, dla homomorfizm grup
Jeżeli jest identycznością, to również każde jest identycznością. Jeżeli są ciągłe, to dla każdego .
Stąd wynika, że grupy homotopii oraz homomorfizmy indukowane mają charakter funktorialny. Tzn. przyporządkowanie trójce grupy oraz odwzorowaniu homomorfizmu jest funktorem kowariantnym kategorii par przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem i