Grupy homotopii – niezmiennik przestrzeni topologicznych uogólniający pojęcie grupy podstawowej, jedno z podstawowych pojęć topologii algebraicznej. Definicja Niech będzie przestrzenią topologiczną, , a kostką jednostkową, tj. , a jej brzegiem (tj. zbiorem punktów kostki, dla których przynajmniej jedno jest równe 0 lub 1).

Zbiór klas homotopii ciągłych odwzorowań , dla których , oznacza się (przy czym brzeg przechodzi w punkt dla wszystkich odwzorowań i homotopii).

W zbiorze tym można zdefiniować działanie w następujący sposób:

gdzie:

Obrazowo, powstaje w ten sposób, że tniemy kostkę hiperpłaszczyzną na dwie części. Na pierwszej z nich kładziemy odwzorowanie , a na drugiej . Przy czym, trzeba zwiększyć dwukrotnie prędkość z jaką oba odwzorowania przebiegają współrzędną (stąd we wzorze występują oraz ). Odwzorowanie przekształca na nie tylko , lecz również wspólny brzeg dwóch połówek kostki.

Działanie jest poprawnie określone oraz zależy tylko od klasy homotopii i . Zbiór wraz z działaniem spełniają wszystkie aksjomaty grupy, którą nazywamy n-wymiarową grupą homotopii.

W przypadku otrzymujemy złożenie dróg zamkniętych (pętli), zatem jest grupą podstawową. Dla grupy nazywamy wyższymi grupami homotopii.

Relatywne grupy homotopii Oznaczmy

Tj. kostkę identyfikujemy ze ścianą kostki spełniającą warunek . Dalej, oznaczmy przez sumę wszystkich pozostałych ścian kostki . W tej sytuacji mamy

Dla niech będzie zbiorem odwzorowań ciągłych trójek

tj. takich, odwzorowań ciągłych że oraz .

Przez oznaczamy zbiór wszystkich odwzorowań homotopijnych z poprzez homotopię

Zbiory są albo takie same albo rozłączne, a zbiór wszystkich dla oznaczamy przez . Analogicznie jak wcześniej, możemy określić działanie przyjmując , gdzie jest określone tym samym wzorem co w przypadku grupy . Zbiór wraz z tworzy grupę zwaną -wymiarową grupą relatywną grupą homotopii przestrzeni względem podprzestrzeni i punktu .

Homomorfizm indukowany Każde odwzorowanie ciągłe indukuje, dla homomorfizm grup

Jeżeli jest identycznością, to również każde jest identycznością. Jeżeli są ciągłe, to dla każdego .

Stąd wynika, że grupy homotopii oraz homomorfizmy indukowane mają charakter funktorialny. Tzn. przyporządkowanie trójce grupy oraz odwzorowaniu homomorfizmu jest funktorem kowariantnym kategorii par przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem i odwzorowań ciągłych na kategorię grup i ich homomorfizmów..

Własności Jeżeli , to . Dla grupa jest abelowa. Jeżeli jest składową łukowej spójności przestrzeni oraz , to . W szczególności, jeżeli jest łukowo spójna, to wszystkie są izomorficzne bez względu na wybór punktu bazowego . Pozwala to pisać po prostu w takim przypadku.

Przypisy

Kategoria:Przestrzenie topologiczne Kategoria:Topologia algebraiczna