Podczas toczenia każdy wierzchołek wielokąta kreśli łuk okręgu o promieniu . Jeden pełny „łuk” cyklogonu odpowiada jednemu pełnemu obrotowi wielokąta, czyli przejściu przez wszystkie jego wierzchołków.
Pole obszaru pod jednym łukiem cyklogonu można rozłożyć na sumę pól: pola wielokąta , pól obszarów powstających podczas obrotu promienia wokół kolejnych punktów styczności.
W każdym kroku ruchu jeden bok wielokąta „odkłada się” na prostej, a odpowiadający mu wierzchołek zakreśla łuk okręgu o kącie środkowym równym kątowi zewnętrznemu wielokąta: .
Suma pól wszystkich takich wycinków koła wynosi:
.
Dodatkowo identyczna suma pól powstaje „po drugiej stronie” ruchu (co wynika z symetrii względem środka obrotu oraz faktu, że każdy obrót generuje dwa równoważne obszary związane z ruchem początku i końca boku).
Zatem łączna suma pól tych obszarów wynosi:
.
Ponieważ jest polem koła opisanego na wielokącie, otrzymujemy:
.
Uwzględniając pole wielokąta , dostajemy ostatecznie:
, q.e.d.
Przykłady