Cyklogon – krzywa powstająca jako tor punktu wielokąta foremnego toczącego się bez poślizgu wzdłuż prostej.
Własności Cyklogon powstaje przy toczeniu wielokąta po prostej. Można rozważyć bardziej ogólną sytuację, w której jeden wielokąt foremny toczy się po innym wielokącie foremnym o tej samej długości boku.
W granicy, gdy liczba boków wielokąta dąży do nieskończoności, cyklogon przechodzi w cykloidę.
Niech punkt będzie sztywno związany z toczącym się -kątem. Wówczas kreśli on krzywą złożoną z łuków okręgów, zwaną trochogonem:
epitrochogon – gdy wielokąt toczy się na zewnątrz, hipotrochogon – gdy toczy się wewnątrz.
W zależności od położenia punktu:
krzywa jest skrócona, gdy punkt leży wewnątrz wielokąta, wydłużona, gdy leży na zewnątrz.
Jeżeli punkt jest wierzchołkiem wielokąta, otrzymujemy odpowiednio:
epicyklogon, hipocyklogon.
Pole cyklogonu Niech: oznacza pole obszaru zawartego pomiędzy jednym łukiem cyklogonu a prostą, oznacza pole wielokąta toczącego się, oznacza pole koła opisanego na tym wielokącie.
Wówczas zachodzi zależność:
.
Dowód Rozważmy wielokąt foremny o bokach i długości boku , toczący się bez poślizgu wzdłuż prostej. Niech oznacza promień okręgu opisanego na tym wielokącie, zaś – jego środek.
Podczas toczenia każdy wierzchołek wielokąta kreśli łuk okręgu o promieniu . Jeden pełny „łuk” cyklogonu odpowiada jednemu pełnemu obrotowi wielokąta, czyli przejściu przez wszystkie jego wierzchołków.
Pole obszaru pod jednym łukiem cyklogonu można rozłożyć na sumę pól: pola wielokąta , pól obszarów powstających podczas obrotu promienia wokół kolejnych punktów styczności.
W każdym kroku ruchu jeden bok wielokąta „odkłada się” na prostej, a odpowiadający mu wierzchołek zakreśla łuk okręgu o kącie środkowym równym kątowi zewnętrznemu wielokąta: .
Suma pól wszystkich takich wycinków koła wynosi:
.
Dodatkowo identyczna suma pól powstaje „po drugiej stronie” ruchu (co wynika z symetrii względem środka obrotu oraz faktu, że każdy obrót generuje dwa równoważne obszary związane z ruchem początku i końca boku).
Zatem łączna suma pól tych obszarów wynosi:
.
Ponieważ jest polem koła opisanego na wielokącie, otrzymujemy:
.
Uwzględniając pole wielokąta , dostajemy ostatecznie:
, q.e.d.
Przykłady
Cyklogony generowane przez trójkąt równoboczny i kwadrat mały|300x300px|Animacja przedstawiająca powstawanie jednego łuku cyklogonu generowanego przez trójkąt równoboczny.mały|300x300px|Animacja przedstawiająca powstawanie jednego łuku cyklogonu generowanego przez kwadrat.
Cyklogon wydłużony centruj|mały|400x400px|Cyklogon wydłużony otrzymany z trójkąta równobocznego; punkt kreślący leży na zewnątrz wielokąta.
Cyklogon skrócony centruj|mały|400x400px|Cyklogon skrócony otrzymany z trójkąta równobocznego; punkt kreślący leży wewnątrz wielokąta.
Przypisy
Kategoria:Krzywe cykliczne