Po ich dodaniu otrzymane figury stają się jednakowoskładalne.

Relacja jest relacją równoważności.

Dla wielokątów zachodzi

.

Jednakowoskładalność mocna Drugim uogólnieniem jest mocna jednakowoskładalność. W tym przypadku ogranicza się zbiór dozwolonych ruchów części. Dwa wielokąty nazywamy mocno jednakowoskładalnymi, jeżeli jeden z nich można pociąć na skończoną liczbę wielokątów, z których można ułożyć drugi wyłącznie, bez przewracania na drugą stronę, za pomocą:

przesuwania, obracania.

Relacja mocnej jednakowoskładalności jest również relacją równoważności.

Twierdzenie Wallace’a-Bolyai-Gerwiena Dla dowolnych wielokątów i następujące warunki są równoważne:

. i są mocno jednakowoskładalne. , czyli i są jednakowoskładalne. , czyli i są prawie jednakowoskładalne.

W szczególności

.

Twierdzenie to jest znane jako twierdzenie Wallace’a-Bolyai-Gerwiena.

Dowód Jeżeli ,

to oba wielokąty można podzielić na parami przystające części. Jeżeli

oraz ,

gdzie ,

to

dla każdego . Po zsumowaniu otrzymujemy ,

więc: ,

Załóżmy, że .

Z własności mocnej jednakowoskładalności wynika, że istnieją prostokąty i o bokach długości odpowiednio oraz , takie że

oraz ,

przy czym w tym miejscu symbol oznacza odpowiednią relację mocnej jednakowoskładalności.

Ponieważ ,

otrzymujemy .

Zatem ,

więc prostokąty i są przystające: .

Stąd ,

a więc .

Z tego otrzymujemy: .

Przypisy

Kategoria:Geometria