Jeśli jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi i to ciągłość oznacza, że dla każdego punktu i każdego takie istnieje (indeks dolny przy oznacza, że liczba ta zależy od i ) taka, że obraz kuli o środku i promieniu zawiera się w kuli o środku i promieniu Jednostajna ciągłość oznacza, że dla każdego istnieje takie że obraz dowolnej kuli o promieniu zawiera się w kuli o promieniu Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.
Jeśli jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni oraz jest jednostajnie ciągła, to ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni
Dowód. Niech Na mocy jednostajnej ciągłości istnieje taka liczba że dla dowolnych spełniających warunek zachodzi oszacowanie Skoro jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna że dla zachodzi a zatem dla Dowodzi to, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni
Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech będzie funkcją daną wzorem Wówczas ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jednak czyli ciąg nie jest ciągiem Cauchy’ego w Wobec powyższego nie jest jednostajnie ciągła.