Twierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.
Twierdzenie Niech
będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg jest warunkowo zbieżny. Ponadto niech będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja zbioru liczb naturalnych, że
Istnieje również taka permutacja że
Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).
Dowód Niech będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do odpowiednio z dołu i z góry, tzn. i (można przyjąć oraz ). Oznaczmy ponadto
Zauważmy, że ciąg powstaje z ciągu przez zastąpienie wyrazów zerami. Analogicznie, ciąg powstaje z ciągu przez zastąpienie wyrazów ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów zerami. Oczywiście wszystkie wyraz są nieujemne, a szeregi są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg gdyż