Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu przez a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu ). Wtedy szeregi oraz są równe szeregom oraz z dokładnością do wyrazów równych a zatem są oba rozbieżne.
Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne oraz w taki sposób, aby i
Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów Następnie dla danych liczb określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby tak aby
oraz
Otrzymujemy w ten sposób szereg (*)
który jest szeregiem powstałym z przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie przez Zauważmy ponadto, że gdy na mocy zbieżności szeregu Ponieważ to tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego gdy To kończy dowód.
Przypadek jest całkowicie analogiczny.
Przykład Szereg
nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym).