Zarówno szereg składników dodatnich
jak i szereg składników ujemnych
są rozbieżne do
Oznaczmy sumę jego wyrazów przez Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:
a następnie pomnożyć wszystkie przez otrzymując
Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy
Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.
Zobacz też twierdzenie Lévy’ego-Steinitza
Linki zewnętrzne
L.D. Kudryavtsev, Riemann’s theorem on the rearrangement of terms of a series , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-20]. Surya Prakash, Jimin Khim, Riemann Series Theorem , brilliant.org [dostęp 2025-10-08].
Kategoria:Twierdzenia o szeregach R Kategoria:Bernhard Riemann