Więc „górne LS” ⇒ AC.
Dla każdego zbioru można znaleźć zbior o mocy większej niż spełniający na przykład zbiór potęgowy zbioru
Więc istnieje model o mocy spełniający zdanie Z dolnego twierdzenia LS wnioskujemy, że ma model o mocy Więc „dolne LS” ⇒ AC.
Uwagi historyczne Pierwszy rezultat tego typu, twierdzenie A sformułowane wcześniej, został udowodniony przez niemieckiego matematyka Leopolda Löwenheima w roku 1915Löwenheim, Leopold: Über Möglichkeiten im Relativkalkül, „Mathematische Annalen”, 76 (1915), s. 447–470.. Górne i dolne twierdzenia Löwenheima-Skolema były wzmocnieniami wcześniejszych wyników udowodnionymi przez Alfreda Tarskiego (zobacz Zofia Adamowicz i Paweł ZbierskiZofia Adamowicz; Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. „Pure and Applied Mathematics” (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997, s. 108. .). Z tego powodu niektórzy autorzy nazywają twierdzenia w wersjach podanych przez nas twierdzeniami Löwenheima-Skolema-Tarskiego (zob. np.