.):
Twierdzenie C Każdy model przeliczalnego języka zawiera przeliczalny elementarny podmodel
Wnioski z twierdzenia Konsekwencją nawet tego specjalnego przypadku twierdzenia jest paradoks Skolema. Jeśli zdanie ma nieskończony model to ma model każdej mocy
Równoważność z aksjomatem wyboru Przy założeniu ZF (bez aksjomatu wyboru) bardziej naturalną wersją górnego twierdzenia Löwenheima-Skolema (niewspominającą dobrych uporządkowań) jest następujące twierdzenie: Niech będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu oraz niech będzie modelem nieskończonym dla tego języka, z uniwersum Jeśli jest zbiorem spełniającym (tzn. istnieje iniekcja ) oraz to istnieje model języka z uniwersum taki, że (tzn. istnieje bijekcja ) oraz
Robert Vaught udowodnił, że i górne i dolne twierdzenie Löwenheima-Skolema są równoważne aksjomatowi wyboru.
Dowód Aksjomat wyboru jest równoważne zdaniu Dla każdego nieskończonego zbioru istnieje iniekcja
czyli Dla każdego nieskończonego zbioru istnieje model zdania
który jest równoliczny ze zbiorem
Zdanie ma model przeliczalny, na przykład zbiór z górnego twierdzenia LS wnioskujemy, że ma model o każdej nieskończonej mocy.