Składowe te wyrażają się jednak również przez pochodne funkcji prądu. Otrzymuje się zatem:
Są to znane z teorii funkcji zespolonej warunki Cauchy-Riemanna.
Wynika z nich, że potencjał prędkości jest częścią rzeczywistą, a potencjał prądu – częścią urojoną pewnej funkcji holomorficznej. Funkcję tę nazywamy potencjałem zespolonym i oznaczamy zwykle w(z); zatem:
przy czym:
gdzie oznacza jednostkę urojoną.
Każda funkcja holomorficzna określa pewien płaski, ustalony przepływ bezwirowy cieczy doskonałej; równanie rodziny linii tego przepływu otrzymuje się porównując część urojoną funkcji do stałej, stanowiącej parametr.
Linie prądu są ortogonalne do linii stałego potencjału prędkości. Dla każdego przepływu, określonego potencjałem zespolonym, można stworzyć przepływ sprzężony, którego linie prądu są liniami stałego potencjału prędkości zadanego przepływu, a linie stałego potencjału prędkości – liniami prądu zadanego przepływu.
Przepływy, określone prostą pod względem analitycznym funkcją, nazywane są przepływami elementarnymi.
Przepływy określone potencjałem zespolonym, podlegają superpozycji:
Można nakładać na siebie dowolną liczbę przepływów, aby uzyskać pożądany przepływ wynikowy.
Dowolną linię prądu możemy traktować jako ściankę materialną, gdyż spełnia warunek styczności prędkości do ścianki.