W konsekwencji
Logarytm jako granica Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
Pochodna logarytmu naturalnego Pochodna logarytmu o dowolnej podstawie dana jest wzorem:
Dla logarytmu naturalnego mamy oraz Stąd
Pochodne wyższych rzędów Pochodną -tego rzędu logarytmu naturalnego wyraża wzór:
Własności
Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję dla Jeśli ciąg to:
dla
Rozwinięcie w szereg Taylora i Maclaurina thumb|Kolejne wielomiany szeregu Maclaurina funkcji . Rozwinięcie jest zbieżne dla . Dla wielomiany coraz wyższych stopni nie poprawiają przybliżenia funkcji poza przedziałem zbieżności szeregu.
Szereg Taylora funkcji Ponieważ punkt nie należy do dziedziny funkcji , funkcja ta nie posiada rozwinięcia w szereg Maclaurina. Można jednak rozwijać ją w szereg Taylora wokół innych punktów.
Rozwijając funkcję wokół punktu , otrzymujemy:
Szereg ten jest zbieżny dla .
Szereg Maclaurina funkcji Z powyższego wzoru po podstawieniu otrzymujemy rozwinięcie Maclaurina funkcji :
Szereg ten jest zbieżny dla .
Zastosowania rozwinięć w szereg Taylora i Maclaurina Rozwinięcia logarytmu naturalnego w szereg Taylora i Maclaurina znajdują zastosowanie w analizie matematycznej, obliczeniach numerycznych oraz naukach przyrodniczych.