W 1956 roku za 25 tys. funtów brytyjskich (ówczesny rekord transferowy klubu) został zawodnikiem West Bromwich Albion (WBA), drużyny występującej w rozgrywkach First Division. W drużynie WBA zadebiutował 10 marca 1956 roku w przegranym 4:0 meczu u siebie z Manchesterem City. W sezonie 1957/1958 był najlepszym strzelcem drużyny WBA w rozgrywkach ligowych, w których zdobył 24 gole, w tym 4 gole w wygranym 5:1 meczu z FC BurnleyNajlepszym strzelcem klubu we wszystkich rozgrywkach był Ronnie Allen (28 goli – 1 gol więcej od Robsona).. W dwóch swoich ostatnich sezonach w klubie: 1960/1961 i 1961/1962 był kapitanem klubu. Łącznie w klubie, w którym grał na pozycji pomocnika, rozegrał 257 meczów, w których zdobył 61 goli. Po sezonie 1961/1962 odszedł z klubu po sporze o pensję z wiceprezesem klubu – Jimem GauntemRobson twierdzi, że Jim Gaunt był wówczas prezesem, jednak był wiceprezesem do 1963 roku.. Żądania wyższej pensji miały związek z narodzinami drugiego syna Robsona.