Grupa topologiczna – grupa na której określona jest jednocześnie struktura przestrzeni topologicznej w taki sposób, że zarówno działanie grupowe, jak i operacja brania elementu odwrotnego są funkcjami ciągłymi.
Definicja Niech będzie grupą, a będzie przestrzenią topologiczną. Jeżeli odwzorowania mnożenia
oraz brania elementu odwrotnego
z grupy są ciągłe, to strukturę nazywa się grupą topologiczną.
Właściwości Na należy określić naturalną topologię iloczynu przestrzeni. W zastosowaniach na ogół zakłada się, że jest przestrzenią Hausdorffa. Większość badanych w analizie przestrzeni ma strukturę grupy topologicznej.
Przykłady Każdą grupę można traktować jako grupę topologiczną w topologii dyskretnej. Zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania i naturalną topologią jest grupą topologiczną (jest to nawet przykład pierścienia topologicznego). Ogólniej, dowolna przestrzeń z naturalnym dodawaniem wektorów i naturalną topologią jest grupą topologiczną. Grupa addytywna dowolnej przestrzeni liniowo-topologicznej (np.