Topologia podprzestrzeni (topologia indukowana, relatywna, śladowa) – rodzina zbiorów określona na podzbiorze przestrzeni topologicznej ; do rodziny tej należą przecięcia zbioru z wszystkimi zbiorami otwartymi w ; rodzina ta jest topologią w zbiorze .
Definicje. Zgodność z aksjomatami topologii Niech będzie przestrzenią topologiczną z topologią , zaś podzbiorem zbioru
Def. Topologią podprzestrzeni indukowaną z przestrzeni nazywamy rodzinę zbiorów , do której należą zbiory będące częściami wspólnymi zbioru ze zbiorami otwartymi w , tj.
Tw. Rodzina zbiorów spełnia aksjomaty topologii, jest więc topologią w .
Dowód.
1. Topologia spełnia (1) aksjomat, czyli . Stąd: i , co oznacza według definicji rodziny , że , czyli spełnia (1) aksjomat.
2. Topologia spełnia (2) aksjomat; jeśli więc , to . Wtedy mamy: według definicji rodziny , czyli spełnia (2) aksjomat.
3. Topologia spełnia (3) aksjomat, czyli dla każdego , jeżeli , to . Wtedy mamy: według definicji rodziny , czyli spełnia (3) aksjomat.
Def. Zbiór z topologią nazywamy podprzestrzenią topologiczną przestrzeni .
Def. Elementy topologii indukowanej nazywamy zbiorami otwartymi w , a ich dopełnienia w nazywamy zbiorami domkniętymi w .