Topologia podprzestrzeni (topologia indukowana, relatywna, śladowa) – rodzina zbiorów określona na podzbiorze przestrzeni topologicznej ; do rodziny tej należą przecięcia zbioru z wszystkimi zbiorami otwartymi w ; rodzina ta jest topologią w zbiorze .
Definicje. Zgodność z aksjomatami topologii Niech będzie przestrzenią topologiczną z topologią , zaś podzbiorem zbioru
Def. Topologią podprzestrzeni indukowaną z przestrzeni nazywamy rodzinę zbiorów , do której należą zbiory będące częściami wspólnymi zbioru ze zbiorami otwartymi w , tj.
Tw. Rodzina zbiorów spełnia aksjomaty topologii, jest więc topologią w .
Dowód.
1. Topologia spełnia (1) aksjomat, czyli . Stąd: i , co oznacza według definicji rodziny , że , czyli spełnia (1) aksjomat.
2. Topologia spełnia (2) aksjomat; jeśli więc , to . Wtedy mamy: według definicji rodziny , czyli spełnia (2) aksjomat.
3. Topologia spełnia (3) aksjomat, czyli dla każdego , jeżeli , to . Wtedy mamy: według definicji rodziny , czyli spełnia (3) aksjomat.
Def. Zbiór z topologią nazywamy podprzestrzenią topologiczną przestrzeni .
Def. Elementy topologii indukowanej nazywamy zbiorami otwartymi w , a ich dopełnienia w nazywamy zbiorami domkniętymi w .
Uwaga: Podobną terminologię stosuje się w przypadku innych pojęć topologicznych definiując np. wnętrze, domknięcie czy brzeg zbioru w .
Własności Niech będzie przestrzenią topologiczną z topologią , a jej podprzestrzenią topologiczną z topologią . Wtedy: Zbiór jest otwarty w wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w podzbiór otwarty taki, że . Własność ta wynika wprost z definicji topologii indukowanej. Zbiór jest domknięty w wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w podzbiór domknięty taki, że . Jeśli jest zbiorem otwartym w , to zbiory otwarte w są otwarte w . Zbiór może być otwarty w topologii indukowanej , pomimo że nie jest otwarty w (por. Przykład 1). Zbiór może być domknięty w , pomimo że nie jest domknięty w (por. Przykład 2). Jeśli jest zbiorem domkniętym w , to zbiory domknięte w są domknięte w . Jeśli jest bazą topologii w , to jest bazą topologii w . Jeśli jest przestrzenią metryczną z metryką , to jest metryką na , a topologia podprzestrzeni w jest wyznaczona przez metrykę . Każda podprzestrzeń przestrzeni jest także podprzestrzenią przestrzeni . Jeśli jest funkcją ciągłą, to funkcja o dziedzinie zawężonej do też jest ciągła. Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jest ciągła. Własność ta może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni w .
Przykłady Przykład 1. Dany jest zbiór liczb rzeczywistych ze standardową topologią oraz jego podzbiór . Zbiór nie jest otwarty w , ale jest otwarty w podprzestrzeni . Istnieje bowiem zbiór otwarty w , na przykład przedział , taki że:
co zgodnie z definicją oznacza, że należy do topologii indukowanej .
Przykład 2. Zbiór może być domknięty w podprzestrzeni , pomimo że nie jest domknięty w całej przestrzeni . Dla przestrzeni ze standardową topologią oraz jej podprzestrzeni , podzbiór nie jest domknięty w . Jest on jednak domknięty w , ponieważ można go zapisać jako przecięcie , gdzie jest domknięty w .
Przykład 3. Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych ze standardową (naturalną) topologią rozważymy podzbiór liczb naturalnych z topologią podprzestrzeni, to zbiór stanie się dyskretną przestrzenią topologiczną. Dla każdej bowiem liczby można wziąć przedział otwarty w , a ponieważ , to każdy jednoelementowy podzbiór jest otwarty w . Skoro topologia podprzestrzeni spełnia aksjomaty topologii, to suma dowolnych jednoelementowych zbiorów otwartych daje zbiór otwarty. Wynika stąd, że topologia zawiera wszystkie możliwe podzbiory zbioru , a to oznacza, że jest topologią dyskretną.
Uwaga: Przykład ten pokazuje, że bycie zbiorem otwartym zależy wyłącznie od przestrzeni topologicznej, w której zbiór znajduje się. Pojedyncze liczby naturalne , np. są zbiorami domkniętymi w , ale w przestrzeni stają się zbiorami otwartymi. I jednocześnie są zbiorami domkniętymi, bo jest zbiorem otwartym jako podzbiór zbioru , więc jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie zbioru .
Przykład 4. Zbiór liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni w nie jest przestrzenią dyskretną – przestrzeń ta nie posiada żadnych punktów izolowanych. Własności dziedziczne Def. Mówimy, że pewna własność W przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej jeśli ma własność W i jest podprzestrzenią to także ma własność W.
Przykłady własności dziedzicznych: aksjomaty oddzielania aksjomaty przeliczalności, metryzowalność, całkowita niespójność, bycie metryczną przestrzenią ośrodkową.
Przykłady własności, które nie są dziedziczne: bycie przestrzenią normalną, ośrodkowość, zwartość.
Zobacz też przestrzeń topologiczna topologia
Przypisy
Bibliografia
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych