Wśród wszystkich niepustych kombinacji k-elementowych wyróżnić można te, które zawierają element i pozostałe, które go nie zawierają. Każdą -elementową kombinację zawierającą można przedstawić jako unię pewnej -elementowej kombinacji i jednoelementowego zbioru Ponieważ przy tym zawiera się w -elementowym to kombinacji takich jest Każda k-elementowa kombinacja nie zawierająca sama zawiera się w czyli w -elementowym zbiorze Zatem kombinacji takich jest Stąd ostatecznie dla liczba kombinacji -elementowych równa jest sumie liczb kombinacji obu rodzajów:
Tożsamości algebraiczne Skracając w definicji czynnik otrzymuje się:
co dla dodatnich wartości rozwija się do uproszczonej postaci iteracyjnej:
Dla puste iloczyny stają się równe jedności, i w efekcie:
Dla w liczniku i mianowniku zostaje tylko pierwszy czynnik, stąd:
– jeden element spośród wybrać można na sposobów.
Inne tożsamości:
liczba kombinacji dopełniających:
liczba kombinacji pustych (i dopełniających do pustych):
liczba kombinacji w zbiorze pustym:
suma współczynników dwumianu Newtona
Teoria liczb Liczba pierwsza dzieli każdą liczbę dla