Wartość dla liczb pierwszych Jeżeli – liczba pierwsza to zachodzi:
Wartość dla potęg nieparzystych liczb pierwszych Jeżeli – nieparzysta liczba pierwsza a – liczba naturalna to zachodzi:
Wartość dla iloczynu liczb względnie pierwszych Niech – dwie liczby naturalne; wówczas:
Twierdzenie Carmichaela – związek funkcji z Małym Twierdzeniem Fermata tzw. Twierdzenie Carmichaela mówi, że następujące dwa warunki są równoważne:
Przykład zastosowania funkcji Carmichaela Problem: obliczyć
Rozwiązanie: ponieważ 248 i 3 są względnie pierwsze (248 nie dzieli się przez 3, bo 2+4+8=14 a 1+4=5 → cecha podzielności przez 3), to możemy skorzystać z właściwości funkcji Carmichaela. λ(248)=NWW(λ(8),λ(31))=NWW(2, 30)=30. Tak więc – Co więcej – ponieważ 30 „mieści się” w 2000 66 razy to zachodzi:
co jest już do policzenia znacznie prostsze. Jeżeli nie dysponujemy kalkulatorem to możemy skorzystać z prostej właściwości – mianowicie 35=243 co, rozważając działanie jest równoważne wartości Czyli:
Funkcja Carmichaela i funkcja Eulera Ponieważ patrząc w odpowiedni sposób na funkcję Eulera, obie ww. funkcje pełnią podobną funkcję (tzn. są uniwersalnym wykładnikiem, dającym dla podstaw względnie pierwszych z argumentem, wartość przystającą do 1), to warto zobaczyć jaki jest realny zysk wartości.