Dla wielomianu stopnia wybiera się punktów – i wielomian ma postać:
Ponieważ
Dzięki temu interpolowaną funkcję można przedstawić w postaci wielomianu
który spełnia warunki
Dowód istnienia wielomianu interpolującego Niech będą węzłami interpolacji funkcji takimi, że znane są wartości: Można zdefiniować funkcję:
taką, że dla jest wielomianem stopnia (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem wyrazów postaci ).
Gdy i
Gdy i
(licznik = 0, ponieważ występuje element ).
Niech będzie wielomianem stopnia co najwyżej określonym jako:
Dla
Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od są równe zeru (ponieważ dla ), składnik o indeksie jest równy:
a więc
z czego wynika, że jest wielomianem interpolującym funkcję na zbiorze punktów
Jednoznaczność interpolacji wielomianowej Dowód
Zakłada się, że istnieją dwa różne wielomiany i stopnia przyjmujące w węzłach takie same wartości.
Niech
jest wielomianem stopnia co najwyżej (co wynika z własności odejmowania wielomianów).
Ponieważ i w węzłach interpolują tę samą funkcję, to a więc (węzły interpolacji są pierwiastkami (*)
Ale każdy niezerowy wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że ma pierwiastków, to musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru, a ponieważ:
to
co jest sprzeczne z założeniem, że i są różne.