Krzywa zamknięta jest brzegiem pewnej 2-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli powierzchni w Ponieważ różniczka (zupełna) jest zamknięta to z twierdzenia Stokesa dostajemy
a zatem całka z różniczki (zupełnej) po krzywej zamkniętej znika.
Niezależność od drogi całkowania Rozpatrzmy dwa dowolne punkty oraz dwie dowolne krzywe je łączące – krzywą biegnącą z punku do punktu oraz krzywą biegnącą z punktu do punktu Krzywe i tworzą razem 1-wymiarową rozmaitość różniczkową kawałkami gładką dla której prawdziwe jest Ogólne Twierdzenie Stokesa. Z dyskusji w poprzednim rozdziale dostajemy
czyli
Zamieniając parametryzację krzywej na przeciwną, dostajemy
Oznacza to, że całka od punktu do z nie zależy od drogi całkowania.
Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci
gdzie – dane funkcje zmiennych
to jest ono różniczką zupełną pewnej funkcji jeżeli dla każdego zachodzi:
Dowód:
Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną widzimy, że funkcje mają postacie