Wnioski:
Ciąg funkcyjny z funkcji ciągłych daje funkcje nieciągłą. Ciągłość funkcji ciągu funkcyjnego nie jest więc warunkiem wystarczającym do otrzymania funkcji ciągłej w granicy ciągu.
Zbieżność zwykła i jednostajna w przestrzeniach zespolonych Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną z metryką daną przez moduł
gdzie .
Definicja zbieżności zwykłej Niech oznacza niepusty podzbiór zbioru liczb zespolonych. Niech oznacza ciąg funkcji zespolonych o dziedzinie w zbiorze ,
Def. Mówimy, że ciąg funkcji określonych na zbiorze zbiega (w sposób zwykły) do funkcji , jeżeli dla dowolnej liczby istnieje liczba naturalna zależna od punktu taka, że funkcje są odległe od funkcji o mniej niż w każdym punkcie swojej dziedziny, tj. dla gdzie oznacza moduł.
Funkcję nazywamy funkcją graniczną, a ciąg funkcyjny nazywamy ciągiem funkcyjnym zbieżnym do funkcji i piszemy
Definicja zbieżności jednostajnej Def. Mówimy, że ciąg funkcji określonych na zbiorze zbiega jednostajnie do funkcji , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba naturalna taka sama dla wszystkich punktów z dziedziny , że funkcje są odległe od funkcji o mniej niż w każdym punkcie swojej dziedziny, tj. dla gdzie oznacza moduł.
Def.