Jeśli ciąg funkcji zbiega jednostajnie do funkcji to mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu i pisze się
Uwaga:
Warunek zbieżności jednostajnej jest bardziej restrykcyjny niż zbieżności zwykłej. Dlatego każdy ciąg jednostajnie zbieżny jest zbieżny zwyczajnie, ale nie na odwrót.
Zbieżność jednostajna w przestrzeniach rzeczywistych Definicje zbieżności zwykłej i jednostajnej są prawie identyczne w zbiorze liczb rzeczywistych, jak w zbiorze liczb zespolonych z tą różnicą, że oznacza tu nie moduł w dziedzinie liczb zespolonych, ale wartość bezwzględną, która w tym wypadku jest właściwą miara odchylenia wyrazów ciągu funkcji od funkcji granicznej.
Def. Ciąg funkcji określonych na podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych zbiega jednostajnie do funkcji , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba naturalna taka, że funkcje są odległe od funkcji o mniej niż w każdym punkcie swojej dziedziny, tj. dla gdzie oznacza wartość bezwzględną.
Zbieżność jednostajna w dowolnych przestrzeniach metrycznych Analogicznie definiuje się zbieżność zwykłą i jednostajną w dowolnych przestrzeniach metrycznych: oznacza teraz odległość ciągu funkcyjnego od funkcji granicznej, mierzoną wg przyjętej w danej przestrzeni miary. Miara, działając na dwa elementy przestrzeni, zwraca odległości między nimi.