Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału w punkcie jest Otóż skoro dla to dla dostatecznie małych jest określony przez znak Gdyby to z liniowości wynika, że dla małych znak może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od a więc nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.
Przestrzenie skończeniewymiarowe Przypadek jednowymiarowy
Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji rzeczywistej. Ciągłe przekształcenia liniowe są postaci gdzie jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci
Wyrażenie
jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji tj.
gdzie jest pochodną funkcji w punkcie
Przypadek wielowymiarowy
W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe), więc pochodna Frécheta pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych.