Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech będzie przestrzenią Banacha, a będzie funkcjonałem liniowym na który jest nieciągły w (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe). Niech
Wówczas jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w a jej pochodna jest równa Mimo to nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica
nie istnieje.
Jeśli jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym to jest różniczkowalna w sensie Frécheta, gdy jej pochodna Gâteaux jest liniowa i ograniczona w każdym punkcie oraz jest przekształceniem ciągłym
Pochodne wyższego rzędu Jeśli jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie podzbioru otwartego zbioru to jej pochodna
jest funkcją o wartościach w przestrzeni tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z do Funkcja ta również może mieć pochodną, nazywaną pochodną drugiego rzędu z funkcji i oznaczaną przez która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem
Często dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji z przestrzenią tzn.