Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.
Konstrukcje + tabelka mnożenia × e i j k e e i j k i i –e k –j j j –k –e i k k j –i –e
Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.
Kwaternion jako suma algebraiczna Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać: gdzie: zaś to pewne obiekty (jednostki urojone) podobne do wartości w liczbach zespolonych, gdyż zachodzi zależność
Dodawanie i mnożenie kwaternionów, w postaci algebraicznej, wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych przy czym mnożenie jednostek z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.
jest to element neutralny, tak jak w przypadku innych struktur algebraicznych jak np. grup.