Często nie uwzględniany w zapisie kwaternionu, dlatego nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu

Wtedy:

Przykład Niech

Wtedy

Kwaterniony jako macierze zespolone Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni postaci

gdzie

Podstawowe własności: suma dwu kwaternionów jest kwaternionem:

podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem:

dla kwaternionu istnieje kwaternion odwrotny do zadany wzorem:

Macierz jednostkowa i zerowa

są oczywiście kwaternionami. Należy zauważyć, że np.

czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.

Z konstrukcji macierzowej bezpośrednio wynika izomorficzność tabelki mnożenia jednostek kwaternionu po prawej.

I wystarczy przyjąć oznaczenia:

Kwaternion jako para liczb zespolonych W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych: gdzie W tym zbiorze definiuje się działania: dodawanie

mnożenie

Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.

Kwaternion jako macierz rzeczywista Innym sposobem zapisu macierzowego jest dla