Wyznacznik i moduł Wyznacznik kwaternionu definiuje wzór:
dla postaci macierzowej:
dla postaci algebraicznej:
dla par liczb zespolonych:
Oczywiście dla
Moduł jest to pierwiastek z wyznacznika:
Własności modułu kwaternionów:
(nierówność trójkąta).
Geometryczna interpretacja mnożenia Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej W tej postaci zaś jest wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: a dwóch kwaternionów – jako:
We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.
Obroty przestrzeni trójwymiarowej Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi obrót według wzoru:
Wówczas: przekształcenie jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych, przekształcenie definiuje podwójne nakrycie grupy przez sferę jeśli wyrazimy kwaternion w postaci wykładniczej wtedy jest obrotem wokół osi kąt