Własności algebraiczne kwaternionów Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych dodawanie kwaternionów jest łączne i przemienne, czyli oraz mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli ale nie jest przemienne (np. ), zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
każdy niezerowy element ma element odwrotny do siebie.
Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc grupę abelową. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową.
Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności
Niektóre podstruktury Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciała: kwaterniony postaci można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi, następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
Grupa kwaternionów
Zbiór z mnożeniem tworzy grupę zwaną grupą kwaternionów i oznaczaną symbolem (od liczby elementów).
Sprzężenie Sprzężenie w kwaternionach jest funkcją określoną następująco:
dla postaci macierzowej:
dla postaci algebraicznej:
dla postaci par liczb zespolonych:
Własności sprzężenia