Niech oraz Poprzez indukcję dostajemy dla każdego
i
Ostatni krok wykorzystuje Jawna forma jest używana zarówno w dowodzie dostateczności, jak i konieczności.
Dostateczność Celem jest pokazanie, że implikuje, że jest pierwsza. Bezpośredni dowód wykorzystujący elementarną teorię grup daną przez J. W. Bruce, jak nawiązuje Jason WojciechowskiJason Wojciechowski. Mersenne Primes, An Introduction and Overview. 2003..
Przypuśćmy, że Wówczas
dla pewnego całkowitego więc
Mnożąc przez otrzymujemy
Zatem
Dla uzyskania sprzeczności, przypuśćmy, że jest złożona, i niech będzie najmniejszym pierwszym czynnikiem liczby Liczby Mersenne’a są nieparzyste, więc Niech będzie zbiorem liczb całkowitych modulo i niech Mnożenie w jest zdefiniowane, jak następuje
Oczywiście to mnożenie jest działaniem wewnętrznym, to znaczy produkt liczb z przechodzi w siebie. Rozmiar oznaczamy przez
Gdy i należą do Formalnie, i należą do Poprzez nadużycia językowe and są identyfikowane z ich obrazami w zgodnie z naturalnym pierścieniem homomorfizmu z w który przyporządkowuje dla .