Podzbiór elementów z ich odwrotnościami tworzy grupę, którą oznaczamy a jej rząd Jeden z elementów nie posiada odwrotności, jest to 0, więc
Teraz i więc
w
Następnie, wykorzystując równanie (1),
w i podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy
Zatem należy do i posiada odwrotność Co więcej, rząd dzieli , jednak więc nie dzieli on . Wobec tego rząd wynosi dokładnie
Rząd elementu jest nie większy niż rząd (rozmiar) grupy, więc
Ale jest najmniejszym pierwszym czynnikiem rozkładu liczby złożonej więc
To prowadzi do sprzeczności Dlatego jest pierwsza.
Konieczność Z drugiej strony, celem jest pokazanie, że pierwszość implikuje Poniższy uproszczony dowód przedstawił Öystein J.R.
Gdy dla nieparzystych z własności symbolu Legendre’a wynika, że To oznacza, że 3 jest podwójnym nieresiduum modulo Dzięki kryterium Eulera, jest to równoważne
Natomiast 2 jest podwójnym residuum modulo ponadto i stąd Tym razem kryterium Eulera pozwala napisać
Połączenie tych dwóch równoważnych relacji daje
Niech i zdefiniujmy tak jak wcześniej jako pierścień Wówczas w pierścieniu otrzymujemy
gdzie pierwsza równość wykorzystuje dwumian Newtona w skończonej dziedzinie, która przedstawia się
a druga równość wykorzystuje małe twierdzenie Fermata, które brzmi