szereg Newtona Współczynniki dwumianowe są elementami wiersza w trójkącie Pascala.

Przykłady

Dowód Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla jest

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego Wtedy dla mamy

co kończy dowód.

Uogólnienie Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy gdzie są rzeczywiste, oraz a wykładnik jest rzeczywisty lub zespolony. Wzór ten zawiera uogólniony symbol Newtona:

Historia Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane matematykom żyjącym przed nim: w IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.; w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala znał to twierdzenie dla wyższych wykładników.

Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i trójkąt Pascala znali: indyjski matematyk Halajuda w X w.; perski matematyk Omar Chajjam w XI w.; chiński matematyk Yang Hui w XIII w.

Uwagi

Przypisy