pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

tj.

Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych itd.

(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty funkcji tworzących funkcję tzn.

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla i funkcji zapisanej w postaci kolumny, tj.

gdzie – kolumna zawierająca składowe funkcji ( oznacza transpozycję wektora).

Uwaga:

Wartością macierzy Jacobiego funkcji w punkcie nazywa się macierz której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie tj.

Definicja jakobianu Definicja: Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.

Jakobian oznacza się symbolami:

Przykłady Przykład 1: Jakobian 2 × 2 Dla funkcji takiej że

jakobian wynosi

Przykład 2: Jakobian nie istnieje Dla funkcji o 4 funkcjach składowych tj.

a) macierz Jacobiego ma postać

Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.

b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Przykład 3: Ujemny znak jakobianu Dla funkcji o składowych

jakobian ma wartość