Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów
Różniczkowy element powierzchni Twierdzenie o całce po powierzchni Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.
Przykład: Transformacja współrzędnych biegunowych na kartezjańskie Transformacja ze współrzędnych biegunowych do kartezjańskich dana jest z pomocą funkcji o 2 funkcjach składowych
a) Macierz Jacobiego ma postać
b) Jakobian
c) Różniczkowy element powierzchni
Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.
Różniczkowy element objętości Twierdzenie o całce po objętości Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.
Przykład: Transformacja współrzędnych sferycznych na kartezjańskie Przejście ze współrzędnych sferycznych na kartezjańskie dane jest za pomocą funkcji o 3 funkcjach składowych
a) Macierz Jacobiego ma postać
b) Wyznacznik tej macierzy wynosi
Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych
c) Różniczkowy element objętości